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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 习题1.5}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{有三个袋子, 第一个袋子中有 4 个黑球、 1 个白球, 第二个袋子中有 3 个 黑球、 3 个白球, 第三个袋子中有 3 个黑球、 5 个白球, 现随机地取一个袋子, 再从中取出一个球, 则此球是白球的概率是多少? 已知取出的球是白球, 则此 球是从第二个袋子中取出的概率是多少?}

\textbf{解:}\quad

(1)

设事件$A$为取出的球是白球,$B_i$是从第$i$个袋子中取球.则有
$$
\begin{aligned}
    P(A) &= P(B_1)\cdot P(A|B_1)+P(B_2)\cdot P(A|B_2)+P(B_3)\cdot P(A|B_3)    \\
    &=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{5}{8}\right)\\
    &=\dfrac{53}{120}
\end{aligned}
$$

(2)

需要求$P(B_2|A)$.由贝叶斯准则:
$$
\begin{aligned}
    P(B_2|A)&=\dfrac{P(B_2)\cdot P(A|B_2)}{\sum\limits_{i=1}^{3}P(B_i)\cdot P(A|B_i)}\\
    &=\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{53}{120}}=\dfrac{20}{53}
\end{aligned}
$$

\section{(摸彩模型)设在$n$张彩票中有一张奖券, 求: 第二个人摸到奖券的概率, 第$m(m\leqslant n)$个人摸到奖券的概率}
\textbf{解:}\quad 
设样本空间$\Omega$为所有的可能出现的摸奖情况.(不考虑顺序).

则$\mathrm{card}\Omega = n$,记$A_{m}$为事件第$m$个人摸到奖券.则
$$
P(A_m) = \dfrac{\mathrm{card}A_{m}}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{1}{n}
$$

\section{有朋友自远方来访, 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 $0.3,0.2, 0.1,0.4$, 如果他乘火车、轮船、汽车来的话, 迟到的概率分别是 $\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{12}$, 而乘飞机不会迟到, 结果是他迟到了, 试问：他乘火车来的概率是 多大?}

\textbf{解:}\quad
设$B_{i}(i=1,2,3,4)$为朋友乘坐火车, 轮船, 汽车, 飞机过来. 设事件$A$为他迟到. 需要求:$P(B_1|A)$. 由贝叶斯准则:

$$
\begin{aligned}
    P(B_1|A)&=\dfrac{P(B_1)\cdot P(A|B_i)}{\sum\limits_{i=1}^{4}P(B_i)\cdot P(A|B_i)}\\
    &=\dfrac{0.3\cdot \frac{1}{4}}{0.3\cdot \frac{1}{4}+0.2\cdot\frac{1}{3}+0.1\cdot\frac{1}{12}}=\dfrac{1}{2}
\end{aligned}
$$




\end{document}